【ID】1618 【题型】填空题 【类型】模拟考试 【来源】2023届湖北省九师联盟高三新高考摸底联考数学试题及答案
某省为调査北部城镇 2021 年国民生产总值, 抽取了 20 个城镇进行分析, 得到样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2$,
$\cdots, 20$ ), 其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示第 $\mathrm{i}$ 个城镇的人口 (单位: 万人) 和该城镇 2021 年国民生产总值(单位: 亿 元), 计算得 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}=100, \sum_{i=1}^{20} y_{i}=800, \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=70, \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=280, \sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=120$.
(1) 请用相关系数 $r$ 判断该组数据中 $y$ 与 $x$ 之间线性相关关系的强弱 (若 $|r| \in[0.75,1]$, 相关性较强; 若
$|r| \in[0.30,0.75)$, 相关性一般; 若 $r \in[-0.25,0.25]$, 相关性较弱);
(2) 求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程;
(3) 若该省北部某城镇 2021 年的人口约为 5 万人, 根据(2)中的线性回归方程估计该城镇 2021 年的国 民生产总值.
参考公式: 相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$, 对于一组具有线性相关关系的数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, n)$, 其回归直线 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
$$
\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}, \quad \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}
$$
答案:
(1) $y$ 与 $x$ 之间具有较强的线性相关关系
(2) $\hat{y}=\frac{12}{7} x+\frac{220}{7}$
(3) 估计该城镇 2021 年的国民生产总值 40 (亿元)

【小问 1 详解】
题意知相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{20}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{120}{\sqrt{70 \times 280}}=\frac{120}{140} \approx 0.857$,
因为 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ 满足 $|r| \in[0.75,1]$, 所以 $y$ 与 $x$ 之间具有较强的线性相关关系.
【小问 2 详解】
$$
\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{120}{70}=\frac{12}{7},
$$
$$
\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=\frac{800}{20}-\frac{12}{7} \times \frac{100}{20}=\frac{220}{7} \text {, 所以 } \hat{y}=\frac{12}{7} x+\frac{220}{7}
$$
【小问 3 详解】
由(2)可估计该城镇 2021 年的国民生产总值 $\hat{y}=\frac{12}{7} \times 5+\frac{220}{7}=40$ (亿元).

解析:

视频讲解

提示1:如果发现题目有错或排版有误或您有更好的解题方法,请点击“编辑”功能进行更新。
提示2: Kmath一直以来坚持内容免费,这导致我们亏损严重。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元, 我们一个月内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里继续免费提供优质内容。捐赠
关闭