【ID】1617 【题型】填空题 【类型】模拟考试 【来源】2023届湖北省九师联盟高三新高考摸底联考数学试题及答案
18. 在平面四边形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E, \angle A B D=45^{\circ}, A E=E C, D E=2 B E, A B=6$,
$$
A D=3 \sqrt{2} .
$$

(1)求 $A C$ 的长;
(2) 求 $\sin \angle A D C$ 的值.
答案:
(1) $A C=2 \sqrt{26}$
(2) $\frac{4}{5}$

在 $\triangle A B D$ 中, 由余弦定理, 得 $A D^{2}=A B^{2}+B D^{2}-2 A B \cdot B D \cdot \cos \angle A B D$, 所以
$18=36+B D^{2}-2 \times 6 \times B D \times \cos 45^{\circ}$, 化简得 $B D^{2}-6 \sqrt{2} B D+18=0$, 解得 $B D=3 \sqrt{2}$, 所以, $B D=A D=3 \sqrt{2}, A B=6$
所以, $B D^{2}+A D^{2}=A B^{2}$, 则 $\angle A D B=90^{\circ}$. 又 $D E=2 B E$, 则 $D E=2 \sqrt{2}$,
所以, $A E^{2}=D E^{2}+A D^{2}=(2 \sqrt{2})^{2}+(3 \sqrt{2})^{2}=26$,
则 $A E=\sqrt{26}$, 又 $A E=E C$, 所以 $A C=2 \sqrt{26}$.


(2)
由 $\angle A D B=90^{\circ}, A E=\sqrt{26}, D E=2 \sqrt{2}, A D=3 \sqrt{2}$,
得 $\sin \angle E A D=\frac{D E}{A E}=\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{26}}, \cos \angle E A D=\frac{A D}{A E}=\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{26}}$.
在 $\triangle A C D$ 中, 由余弦定理, 得 $C D^{2}=A D^{2}+A C^{2}-2 A D \cdot A C \cdot \cos \angle E A D=50$, 则 $C D=5 \sqrt{2}$.
在 $\triangle A C D$ 中, 由正弦定理, 得 $\frac{A C}{\sin \angle A D C}=\frac{C D}{\sin \angle E A D}$,
$$
\text { 则 } \sin \angle A D C=\frac{2 \sqrt{26} \times \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{26}}}{5 \sqrt{2}}=\frac{4}{5}
$$

解析:

视频讲解

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