定义: 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和, 形成新的数列, 我们把这样的操作称为该数列的一次 “和扩充”，例如：数列1,2,3 经过第一次 “和扩充” 后得到数列1,3,2,5,3 ; 第二次 “和扩充”后得到数列 $1,4,3,5,2,7,5,8,3$. 设数列 $a, b, c$ 经过 $n$ 次 “和扩充” 后得到的数列的项数为 $P_n$, 所有项的和为 $S_n$.
(1) 若 $a=2, b=3, c=4$, 求 $P_2, S_2$;
（2）若 $P_n \geq 2024$, 求正整数 $n$ 的最小值;
(3) 是否存在数列 $a, b, c(a, b, c \in \mathbf{R})$, 使得数列 $\left\{S_n\right\}$ 为等比数列? 请说明理由.