已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$, 左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$, 则 ( )
$\text{A.}$ 过点 $A_{2}$ 与 $C$ 只有一个公共点的直线有 2 条
$\text{B.}$ 若 $C$ 的离心率为 $\sqrt{5}$, 则点 $F$ 关于 $C$ 的渐近线的对称点在 $C$ 上
$\text{C.}$ 过 $F$ 的直线与 $C$ 右支交于 $M, N$ 两点, 则线段 $M N$ 的长度有最小值
$\text{D.}$ 若 $C$ 为等轴双曲线, 点 $P$ 是 $C$ 上异于顶点的一点, 且 $\left|A_{1} A_{2}\right|=\left|P A_{2}\right|$, 则 $\angle P A_{1} A_{2}=\frac{\pi}{6}$