题号:1611    题型:多选题    来源:2023届湖北省九师联盟高三新高考摸底联考数学试题及答案
已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$, 左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$, 则 ( )
$A.$ 过点 $A_{2}$ 与 $C$ 只有一个公共点的直线有 2 条 $B.$ 若 $C$ 的离心率为 $\sqrt{5}$, 则点 $F$ 关于 $C$ 的渐近线的对称点在 $C$ 上 $C.$ 过 $F$ 的直线与 $C$ 右支交于 $M, N$ 两点, 则线段 $M N$ 的长度有最小值 $D.$ 若 $C$ 为等轴双曲线, 点 $P$ 是 $C$ 上异于顶点的一点, 且 $\left|A_{1} A_{2}\right|=\left|P A_{2}\right|$, 则 $\angle P A_{1} A_{2}=\frac{\pi}{6}$
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答案:
BCD

解析:

【分析】对于 $\mathrm{A}$, 过 $A_{2}$ 与 $C$ 只有一个公共点的直线有 3 条, 故可判断;
对于 $\mathrm{B}$, 由题意可求得 $c=\sqrt{5} a, b=2 a, F(\sqrt{5} a, 0)$, 取渐近线方程为 $y=\frac{b}{a} x$, 可求得 $F$ 关于渐近线的对 称点为 $\left(-\frac{3 a}{\sqrt{5}}, \frac{4 a}{\sqrt{5}}\right)$, 代入 $C$ 的方程验证即可;
对于 $\mathrm{C}$, 当直线 $M N$ 与 $x$ 轴垂直时, 线段 $M N$ 长度最小, 即可判断;

对于 $\mathrm{D}$, 双曲线 $C$ 为即 $x^{2}-y^{2}=a^{2}(a > 0)$, 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y_{0} \neq 0\right)$, 则 $x_{0}^{2}-y_{0}^{2}=a^{2},\left(x_{0}-a\right)^{2}+y_{0}^{2}=4 a^{2}$, 解得 $x_{0}=2 a, y_{0}=\pm \sqrt{3} a$, 即可判断.
【详解】对于 $\mathrm{A}$, 过 $A_{2}$ 与 $C$ 只有一个公共点的直线, 与渐近线平行的直线 2 条, 与 $x$ 轴垂直的直线 1 条, 共 3 条, 则 $\mathrm{A}$ 错误;

对于 $\mathrm{B}, e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=5, c^{2}=5 a^{2}=a^{2}+b^{2}, b^{2}=4 a^{2}$, 所以 $c=\sqrt{5} a, b=2 a, F(\sqrt{5} a, 0)$, 渐近线方程不妨取

$y=\frac{b}{a} x$, 即 $2 x-y=0$, 设 $F$ 关于颊近线 $2 x-y=0$ 的对称点为 $(m, n)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{n}{m-\sqrt{5} a} \times 2=-1, \\ 2 \times \frac{m+\sqrt{5} a}{2}-\frac{n}{2}=0,\end{array}\right.$, 对标点在双曲线 $C$ 上, 则 $B$ 正确:
长度最小, 故 $\mathrm{C}$ 正确;
对于 $\mathrm{D}$, 双曲线 $C$ 为等轴双曲线, 即 $C: x^{2}-y^{2}=a^{2}(a > 0)$, 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y_{0} \neq 0\right)$, 则 $x_{0}^{2}-y_{0}^{2}=a^{2}$ (1),
又 $\left|A_{1} A_{2}\right|=\left|P A_{2}\right|$, 则 $\left(x_{0}-a\right)^{2}+y_{0}^{2}=4 a^{2}$ (2), 联立(1)(2) 解得 $x_{0}=2 a, y_{0}=\pm \sqrt{3} a$, 易得 $\angle P A_{1} A_{2}=\frac{\pi}{6}$, 故
$D$ 止确.
故选:BCD.
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