题号:1606    题型:单选题    来源:2023届湖北省九师联盟高三新高考摸底联考数学试题及答案
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p > 0)$ 的焦点为 $F, P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的一点, 若 $C$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴交于 $M$ 点, 与 $y$ 轴交于 $N$ 点, 则与 $|P F|$ 相等的是()
$A.$ $|M N|$ $B.$ $|F N|$ $C.$ $|P M|$ $D.$ $|O N|$
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答案:
B

解析:

如图, 设 $P\left(a, \frac{a^{2}}{2 p}\right)(a > 0)$, 由 $y=\frac{x^{2}}{2 p}$, 得 $y^{\prime}=\frac{x}{p}$,
所以 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程为 $y-\frac{a^{2}}{2 p}=\frac{a}{p}(x-a)$, 从而 $M\left(\frac{a}{2}, 0\right), N\left(0,-\frac{a^{2}}{2 p}\right)$,
根据抛物线的定义, 得 $|P F|=\frac{a^{2}}{2 p}+\frac{p}{2}$;
又 $F\left(0, \frac{p}{2}\right),|F N|=\frac{p}{2}-\left(-\frac{a^{2}}{2 p}\right)=\frac{a^{2}}{2 p}+\frac{p}{2}$, 所以 $|P F|=|F N| > |O N|$;
由 $P\left(a, \frac{a^{2}}{2 p}\right), M\left(\frac{a}{2}, 0\right), N\left(0,-\frac{a^{2}}{2 p}\right)$, 得 $M$ 是 $P N$ 的中点, 则 $M F \perp P N$, 从而 $|P F| > |P M|=|M N|$.


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