题号:1598    题型:填空题    来源:2022年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析
若二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象经过点 $A(-2,0), B(0,-4)$, 其对称轴为直线 $x=1$, 与 $x$ 轴的另 一交点为C
(1) 求二次函数的表达式:
(2) 若点 $M$ 在直线 $A B$ 上, 且在第四象限, 过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$.
(1)若点 $N$ 在线段 $O C$ 上, 且 $M N=3 N C$, 求点 $M$ 的坐标;
(2)以 $M N$ 为对角线作正方形 $M P N Q$ (点 $P$ 在 $M N$ 右侧), 当点 $P$ 在抛物线上时, 求点 $M$ 的坐标.
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答案:
【小问 1 详解】
解: $\because$ 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象经过点 $(0,-4)$,
$$
\therefore c=-4 \text {. }
$$
又 $\because$ 抛物线经过点 $A(-2,0)$, 对称轴为直线 $x=1, \therefore\left\{\begin{array}{c}-\frac{b}{2 a}=1, \\ 4 a-2 b-4=0,\end{array}\right.$ 解得 : $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}, \\ b=-1,\end{array}\right.$ $\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=\frac{1}{2} x^{2}-x-4$.

【小问 2 详解】
解:(1)设直线 $A B$ 的表达式为 $y=k x+n$.
$\because$ 点 $A, B$ 的坐标为 $A(-2,0), B(0,-4)$,
$\therefore\left\{\begin{array}{c}-2 k+n=0 \\ n=-4\end{array}\right.$, 解得 : $\left\{\begin{array}{l}k=-2 \\ n=-4\end{array}\right.$,
$\therefore$ 直线 $A B$ 的表达式为 $y=-2 x-4$.
根据题意得: 点 $C$ 与点 $A(-2,0)$ 关于对称轴直线 $x=1$ 对称,
$\therefore C(4,0)$.
设点 $N$ 的坐标为 $(m, 0)$.
$$
\begin{aligned}
&\because M N \perp x \text { 轴, } \\
&\therefore M(m,-2 m-4) . \\
&\therefore M N=2 m+4 \\
&\therefore N C=4-m . \\
&\because M N=3 N C \therefore 2 m+4=3(4-m),
\end{aligned}
$$
解, 得 $m=\frac{8}{5}$.

$\therefore$ 点 $M$ 的坐标 $\left(\frac{8}{5},-\frac{36}{5}\right):$
(2)连接 $P Q$ 与 $M N$ 交与点 $E$.
设点 $M$ 的坐标为 $(t,-2 t-4)$, 则点 $N$ 的坐标为 $(t, 0)$
$\because$ 四边形 $M P N Q$ 是正方形,
$\therefore P Q \perp M N, N E=E P, N E=\frac{1}{2} M N$.
$\because M N \perp x$ 轴, $\therefore P Q / / x$ 轴.
$\therefore E$ 的坐标为 $(t,-t-2)$.
$\therefore N E=t+2$.
$\therefore O N+E P=O N+N E=t+t+2=2 t+2$.
$\therefore P$ 的坐标 $(2 t+2,-t-2)$.
$\because$ 点 $P$ 在抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}-x-4$ 上,
$$
\therefore \frac{1}{2}(2 t+2)^{2}-(2 t+2)-4=-t-2 \text {. }
$$
解, 得 $t_{1}=\frac{1}{2}, t_{2}=-2$.
$\because$ 点 $P$ 在第四象限,
$\therefore t=-2$ 舍去.
即 $t=\frac{1}{2}$.
$\therefore$ 点 $M$ 坐标为 $\left(\frac{1}{2},-5\right)$.



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