已知 $F_1, F_2$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点,点 $P$ 在椭圆 $C$ 上, 若 $P F_1 \perp P F_2, \triangle F_1 P F_2$ 的面积等于 4 . 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若点 $P$ 是椭圆的短轴顶点, 则楠圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
$\text{B.}$ 若 $P$ 是动点, 则 $b$ 的值恒为 2
$\text{C.}$ 若 $P$ 是动点, 则椭圆的离心率的取值范围是 $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$
$\text{D.}$ 若 $P$ 是动点, 则 $\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|$ 的取值范围是 $[4 \sqrt{2},+\infty)$