设 3 阶对称矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_1=1, \lambda_2=-2, \lambda_3=-2$ ，且 $\alpha_1=(1,-1,1)^T$ 是 $A$ 的属于 $\lambda_1$ 的一个特征向量，记
$$
B=A^5-4 A^3+E,
$$
其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵.
(1) 验证 $\alpha_1$ 是矩阵 $B$ 的特征向量，并求 $B$ 的全部特征值与特征向量;
(2) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$