题号:1570    题型:解答题    来源:2006年全国硕士研究生招生考试试题
设在上半平面 $D=\{(x, y) \mid y > 0\}$ 内, 函数 $f(x, y)$ 具有连续偏导数, 且对任意的 $t > 0$ 都有$$
f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y) .
$$
证明: 对 $D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $L$, 都有 $\oint_{L} y f(x, y) \mathrm{d} x-x f(x, y) \mathrm{d} y=0$.
0 条评论 分享 0 人推荐 收藏 ​ ​ 4 次查看 我来讲解
答案:
把 $f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y)$ 两边对 $t$ 求导, 得: $x f_{x}^{\prime}(t x, t y)+y f_{y}^{\prime}(t x, t y)=-2 t^{-3} f(x, y)$
令 $t=1$, 则 $x f_{x}^{\prime}(x, y)+y f_{y}^{\prime}(x, y)=-2 f(x, y)$;
再令 $P=y f(x, y), Q=-x f(x, y)$ ,
所以 $\frac{\partial Q}{\partial x}=-f(x, y)-x f_{x}^{\prime}(x, y), \frac{\partial P}{\partial y}=f(x, y)+y f_{y}^{\prime}(x, y)$
得 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$, 所以由格林公式知结论成立.

关闭