题号:1566    题型:解答题    来源:2006年全国硕士研究生招生考试试题
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$, 计算二重积分 $I=\iint_{D} \frac{1+x y}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
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答案:
积分区域对称于 $x$ 轴, $\frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} y$ 为 $y$ 的奇函数,
从而知 $\iint_{D} \frac{x y}{1+x^{2}+y^{2}} d x d y=0$
$$
I=\iint_{D} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} d x d y \text { 极坐标 } \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{0}^{1} \frac{r}{1+r^{2}} d r=\left.\frac{\pi}{2} \ln \left(1+r^{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{\pi}{2} \ln 2
$$
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