题号:1563    题型:单选题    来源:2006年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行加到第 1 行得 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列的 $-1$ 倍加到第 2 列得 $\boldsymbol{C}$, 记 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则 ( )
$A.$ $C=P^{-1} \boldsymbol{A P}$. $B.$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P A P ^ { - 1 }}$. $C.$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$. $D.$ $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{P A} \boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}$.
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答案:
B

解析:

用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变 换或列变换)得出
将 $A$ 的第 2 行加到第 1 行得 $B$, 即 $B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) A$ 记 $P A$ 将 $B$ 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 $C$, 即 $C=B\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 记 $B Q$

因为 $P Q=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=E$, 故 $Q=P^{-1} E=P^{-1}$. 从而 $C=B Q=B P^{-1}=P A P^{-1}$, 故选 $(B)$.
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