题号:1558    题型:单选题    来源:2006年全国硕士研究生招生考试试题
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 则级数( )
$A.$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收敛. $B.$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛. $C.$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} a_{n+1}$ 收敛. $D.$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}$ 收敛.
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答案:
D

解析:

方法 1: 数列收敛的性质:收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛
因为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛, 所以 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1}$ 也收敛, 所以 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+a_{n+1}\right)$ 收敛, 从而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}$ 也收敛. 选 D.
方法 2: 记 $a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛. 但 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$, ( $p$ 级数, $p=\frac{1}{2}$ 级数发散);
$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} a_{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{\sqrt{n} \sqrt{n+1}}(p$ 级数, $p=1$ 级数发散)均发散。由排除法可知, 应选 D.
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