题号:1542    题型:填空题    来源:广西省柳州市2023届新高三摸底考试(文科数学)
已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点, $P$ 在椭圆上运动, 求 $\frac{1}{\left|P F_{1}\right|}+\frac{1}{\left|P F_{2}\right|}$ 的最小值为
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答案:
1

解析:

【分析】利用椭圆的定义知 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=4$, 利用基本不等式即可求出 $\frac{1}{\left|P F_{1}\right|}+\frac{1}{\left|P F_{2}\right|}$ 的最小值.
【详解】因为 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点, $P$ 在椭圆上运动,所以 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=4$.
所以 $4=\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right| \geq 2 \sqrt{\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|}$, 所以 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right| \leq 4$ (当且仅当 $\left|P F_{1}\right|=\left|P F_{2}\right|$ 时等号成立). 所以 $\frac{1}{\left|P F_{1}\right|}+\frac{1}{\left|P F_{2}\right|}=\frac{\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|}{\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|} \geq \frac{4}{4}=1$.
即 $\frac{1}{\left|P F_{1}\right|}+\frac{1}{\left|P F_{2}\right|}$ 的最小值为 1 .
故答案为: 1
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