题号:1522    题型:解答题    来源:2022年北京市中考数学试卷
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知点 $M(a, b), N$.
对于点 $P$ 给出如下定义: 将点 $P$ 向右 $(a \geq 0)$ 或向左 $(a < 0)$ 平移 $|a|$ 个单位长度, 再向上 $(b \geq 0)$ 或向下 $(b < 0)$ 平移 $|b|$ 个单位长度, 得到点 $P^{\prime}$, 点 $P^{\prime}$ 关于点 $N$ 的对称点为 $Q$, 称点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”.
(1) 如图, 点 $M(1,1)$, 点 $N$ 在线段 $O M$ 的延长线上, 若点 $P(-2,0)$, 点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”.


(1)在图中画出点 $Q$;
(2)连接 $P Q$, 交线段 $O N$ 于点 $T$. 求证: $N T=\frac{1}{2} O M$;

(2) $\odot O$ 的半径为 $1, M$ 是 $\odot O$ 上一点, 点 $N$ 在线段 $O M$ 上, 且 $O N=t\left(\frac{1}{2} < t < 1\right)$, 若 $P$ 为 $\odot O$ 外一点, 点 $Q$ 为点 $P$ 的“对应点”, 连接 $P Q$. 当点 $M$ 在 $\odot O$ 上运动时直接写出 $P Q$ 长的最大值与最小值的差 (用含 $t$ 的式子表 示)
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答案:
(1)(1)由题意知, $P^{\prime}(-2+1,0+1)$,
$$
\therefore P^{\prime}(-1,1) \text {, }
$$
如图, 点 $Q$ 即为所求;


(2) $\because P^{\prime}(-1,1), N(2,2)$,
$\therefore Q(5,3)$,
设直线 $P Q$ 的解析式为 $y=k x+b$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore\left\{\begin{array}{l}
-2 \mathrm{k}+\mathrm{b}=0 \\
5 \mathrm{k}+\mathrm{b}=3 \\
\mathrm{k}=\frac{3}{7} \\
\therefore\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{b}=\frac{6}{7}
\end{array}\right. \\
\therefore y=\frac{3}{7} \mathrm{x}+\frac{6}{7}
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
同理, 直线 $O M$ 的解析式为 $y=x$,
$$
\therefore \frac{3}{7} x+\frac{6}{7}=x \text {, }
$$
解得 $x=\frac{3}{2}$,
$$
\therefore T\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) \text {, }
$$

$$
\begin{aligned}
&\therefore N T=\sqrt{\left(2-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(2-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{2}, \\
&\because O M=\sqrt{2}, \\
&\therefore N T=\frac{1}{2} O M ;
\end{aligned}
$$

(2) 如图,连接PO,并延长至S,使OP=OS,延长SQ到T,使ST=OM,


由题意知, $P P_{1} \| O M, P P_{1}=O M, P_{1} N=N Q$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore T Q=2 M N, \\
&\because M N=O M-O N=1-t \\
&\therefore T Q=2-2 t, \\
&\therefore S Q=S T-T Q=1-(2-2 t)=2 t-1,
\end{aligned}
$$
在 $\triangle P Q S$ 中, $P S-Q S < P S+Q S$,
$\therefore P S$ 的最小值为 $P S-Q S, P S$ 的最大值为 $P S+Q S$,
$\therefore P Q$ 长的最大值与最小值的差为 $(P S+Q S)-(P S-Q S)=2 Q S=4 t-2$.
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