题号:1521    题型:解答题    来源:2022年北京市中考数学试卷
在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, D$ 为 $\triangle A B C$ 内一点, 连接 $B D, D C$, 延长 $D C$ 到点 $E$, 使得 $C E=D C$.
(1) 如图 1, 延长 $B C$ 到点 $F$, 使得 $C F=B C$, 连接 $A F, E F$. 若 $A F \perp E F$, 求证: $B D \perp A F$;
(2) 连接 $A E$, 交 $B D$ 的延长线于点 $H$, 连接 $C H$, 依题意补全图 2 . 若 $A B^{2}=A E^{2}+B D^{2}$, 用等式表示线段 $C D$ 与 $C H$ 的数量关系, 并证明.


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答案:
(1)
在 $\triangle F C E$ 和 $\triangle B C D$ 中,
$$
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array}{l}
C E=C D \\
\angle F C E=\angle B C D \\
C F=C B
\end{array}\right. \\
&\therefore \triangle F C E \cong \triangle B C D(\mathrm{SAS}), \\
&\therefore \angle C F E=\angle C B D,
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&\therefore E F / / B D, \\
&\because A F \perp E F, \\
&\therefore B D \perp A F .
\end{aligned}
$$

(2)由题意补全图形如下:


$$
C D=C H \text {. }
$$
证明: 延长 $B C$ 到 $F$, 使 $C F=B C$, 连接 $A F, E F$,
$$
\begin{aligned}
&\because A C \perp B F, B C=C F, \\
&\therefore A B=A F,
\end{aligned}
$$
由(1)可知 $B D \| E F, B D=E F$,
$$
\begin{aligned}
&\because A B^{2}=A E^{2}+B D^{2}, \\
&\therefore A F^{2}=A E^{2}+E F^{2}, \\
&\therefore \angle A E F=90^{\circ}, \\
&\therefore A E \perp E F, \\
&\therefore B D \perp A E, \\
&\therefore \angle D H E=90^{\circ}, \\
&\text { 又 } \because C D=C E, \\
&\therefore C H=C D=C E .
\end{aligned}
$$
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