【ID】1520 【题型】解答题 【类型】中考真题 【来源】2022年北京市中考数学试卷
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $(1, m),(3, n)$ 在抛物线 $y=a x^{2}+b x+c(a > 0)$ 上, 设抛物线的对称轴为 $x=t$.
(1) 当 $c=2, m=n$ 时, 求拋物线与 $y$ 轴交点的坐标及 $t$ 的值;
(2) 点 $\left(x_{0}, m\right)\left(x_{0} \neq 1\right)$ 在抛物线上, 若 $m < n < c$, 求 $t$ 的取值范围及 $x_{0}$ 的取值范围.
答案:
(1) 方法一:
将点 $(1, m), N(3, n)$ 代入抛物线解析式,
$$
\begin{aligned}
&\therefore\left\{\begin{array}{l}
m=a+b+c \\
n=9 a+3 b+c
\end{array}\right. \\
&\because m=n
\end{aligned}
$$
$\therefore a+b+c=9 a+3 b+c$, 整理得, $b=-4 a$,
$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=-\frac{-4 a}{2 a}=2$;
$\therefore t=2$,
$\because c=2$
$\therefore$ 抛物线与 $y$ 轴交点的坐标为 $(0,2)$.

方法二:当 $c=2$ 时, $y=a x^{2}+b x+2$,
$\therefore$ 当 $x=0$ 时, $y=2$,
$\therefore$ 抛物线与 $y$ 轴交点的坐标为 $(0,2)$;
$\because m=n$,
$\therefore$ 点 $(1, m),(3, n)$ 关于对称轴为 $x=t$ 对称,
$$
\therefore \quad t=\frac{1+3}{2}=2
$$


(2) $\because m < n < c$,
$\therefore a+b+c < 9 a+3 b+c < c$,
解得 $-4 a < b < -3 a$,
$\therefore 3 a < -b < 4 a$,
$\therefore \frac{3 a}{2 a} < -\frac{b}{2 a} < \frac{4 a}{2 a}$, 即 $\frac{3}{2} < t < 2$.
当 $t=\frac{3}{2}$ 时, $x_{0}=2$;
当 $t=2$ 时, $x_{0}=3$.
$\therefore x_{0}$ 的取值范围 $2 < x_{0} < 3$.

解析:

视频讲解

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