【ID】1518 【题型】解答题 【类型】中考真题 【来源】2022年北京市中考数学试卷
如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C D$ 是 $\odot O$ 的一条弦, $A B \perp C D$, 连接 $A C, O D$.
(1) 求证: $\angle B O D=2 \angle A$;
(2) 连接 $D B$, 过点 $C$ 作 $C E \perp D B$, 交 $D B$ 的延长线于点 $E$, 延长 $D O$, 交 $A C$ 于 点 $F$, 若 $F$ 为 $A C$ 的中点, 求证: 直线 $C E$ 为 $\odot O$ 的切线.

答案:
证明: (1) 连接 $A D$,
$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $A B \perp C D$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \widehat{\mathrm{BC}}=\widehat{\mathrm{BD}} \\
&\therefore \angle C A B=\angle B A D \\
&\because \angle B O D=2 \angle B A D \\
&\therefore \angle B O D=2 \angle A
\end{aligned}
$$



(2) 如图, 连接 $O C$,



$\because F$ 为 $A C$ 的中点,
$\therefore D F \perp A C$,
$\therefore A D=C D$,
$\therefore \angle A D F=\angle C D F$,
$\because \widehat{\mathrm{BC}}=\widehat{\mathrm{BD}}$,
$\therefore \angle C A B=\angle D A B$,
$\because O A=O D$,
$\therefore \angle O A D=\angle O D A$,
$\therefore \angle C D F=\angle C A B$,
$\because O C=O D$,
$\therefore \angle C D F=\angle O C D$,
$\therefore \angle O C D=\angle C A B$,
$\because \widehat{\mathrm{BC}}=\widehat{\mathrm{BC}}$,
$\therefore \angle C A B=\angle C D E$,
$\therefore \angle C D E=\angle O C D$,
$\because \angle E=90^{\circ}$,

$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle C D E+\angle D C E=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle O C D+\angle D C E=90^{\circ}
\end{aligned}
$$
即 $O C \perp C E$,
$\because O C$ 为半径,
$\therefore$ 直线 $C E$ 为 $\odot O$ 的切线.

解析:

视频讲解

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