题号:1472    题型:解答题    来源:2005年全国硕士研究生招生考试试题
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n > 2)$ 为来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 记 $Y_{i}=X_{i}-\bar{X}$, $i=1,2, \cdots, n$.
求: ( I ) $Y_{i}$ 的方差 $D\left(Y_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$;
(II ) $Y_{1}$ 与 $Y_{n}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)$.
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答案:
) 解 ( I ) $D Y_{i}=D\left(X_{i}-\bar{X}\right)=D \cdot\left[\left(1-\frac{1}{n}\right) X_{i}-\frac{1}{n} \sum_{k \neq i} X_{k}\right]=\frac{n-1}{n}, i=1,2, \cdots, n$.
(II) $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)=E\left(Y_{1}-E Y_{1}\right)\left(Y_{n}-E Y_{n}\right)=E\left(X_{1}-\bar{X}\right)\left(X_{n}-\bar{X}\right)$
$$
\begin{aligned}
&=E\left(X_{1} X_{n}\right)+E\left(\bar{X}^{2}\right)-E\left(X_{1} \bar{X}\right)-E\left(X_{n} \bar{X}\right) \\
&=E X_{1} E X_{n}+D \bar{X}-\frac{1}{n} E\left(X_{1}{ }^{2}\right)-\frac{1}{n} \sum_{i=2}^{n} E\left(X_{1} X_{i}\right)-\frac{1}{n} E\left(X_{n}{ }^{2}\right)-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n-1} E\left(X_{i} X_{n}\right) \\
&=-\frac{1}{n} .
\end{aligned}
$$
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