题号:1471    题型:解答题    来源:2005年全国硕士研究生招生考试试题
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)= \begin{cases}1, & 0 < x < 1,0 < y < 2 x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$
求: (I) $(X, Y)$ 的边缘概率密度 $f_{X}(x), f_{Y}(y)$;
( II ) $Z=2 X-Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$.
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答案:
解 ( I ) 当 $0 < x < 1$ 时,
$$
f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{2 x} \mathrm{~d} y=2 x ;
$$
当 $x \leqslant 0$ 或 $x \geqslant 1$ 时, $f_{X}(x)=0$.
即 $f_{X}(x)= \begin{cases}2 x, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$
当 $0 < y < 2$ 时,
$$
f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} x=\int_{\frac{y}{2}}^{1} \mathrm{~d} x=1-\frac{y}{2} ;
$$
当 $y \leqslant 0$ 或 $y \geqslant 1$ 时, $f_{Y}(y)=0$.
即 $f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{lc}1-\frac{y}{2}, & 0 < y < 2, \\ 0, & \text { 其他. }\end{array}\right.$
(II) 解法一 当 $z \leqslant 0$ 时, $F_{Z}(z)-0$;
当 $0 < z < 2$ 时,
$F_{Z}(z)=P\{2 X-Y \leqslant z\}=\iint_{2 x-y \leqslant z} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=z-\frac{z^{2}}{4} ;$
当 $z \geqslant 2$ 时, $F_{Z}(z)=1$.
所以 $f_{Z}(z)=\left\{\begin{array}{lc}1-\frac{z}{2}, & 0 < z < 2, \\ 0, & \text { 其他. }\end{array}\right.$


解法二 $f_{Z}(z)=\int f(x, 2 x-z) \mathrm{d} x$,
其中 $f(x, 2 x-z)= \begin{cases}1, & 0 < x < 1,0 < z < 2 x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$
当 $z \leqslant 0$ 或 $z \geqslant 2$ 时, $f_{Z}(z)=0$;
当 $0 < z < 2$ 时, $f_{Z}(z)=\int_{\frac{z}{2}}^{1} \mathrm{~d} x=1-\frac{z}{2}$.
即 $f_{Z}(z)= \begin{cases}1-\frac{z}{2}, & 0 < z < 2, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$

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