【ID】1470 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2005年全国硕士研究生招生考试试题
已知 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第一行是 $(a, b, c), a, b, c$ 不全为零, 矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k\end{array}\right)$ ( $k$ 为常数), 且 $A B=O$, 求线性方程组 $A x=0$ 的通解.
答案:
解 由于 $\boldsymbol{A B}=\mathbf{0}$, 故 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant 3$,
又由 $a, b, c$ 不全为零, 可知 $r(\boldsymbol{A}) \geqslant 1$.
当 $k \neq 9$ 时, $r(\boldsymbol{B})=2$, 于是 $r(\boldsymbol{A})=1$;
当 $k=9$ 时, $r(\boldsymbol{B})=1$,
于是 $r(\boldsymbol{A})=1$ 或 $r(\boldsymbol{A})=2$.
对于 $k \neq 9$, 由 $\boldsymbol{A B}=\mathbf{0}$ 可得
由于 $\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,2,3)^{T}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(3,6, k)^{T}$ 线性无关, 故 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系,
于是 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的通解为
$$
\boldsymbol{X}=c_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}+c_{2} \boldsymbol{\eta}_{2},
$$
其中 $c_{1}, c_{2}$ 为任意常数.
对于 $k=9$, 分别就 $r(\boldsymbol{A})=2$ 和 $r(\boldsymbol{A})=1$ 进行讨论.
如果 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=0$ 的基础解系由一个向量构成. 又因为 $\boldsymbol{A}\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right]=\mathbf{0}$, 所以 $\boldsymbol{A X}=\mathbf{0}$ 的通解
为 $\boldsymbol{X}=c_{1}(1,2,3)^{\mathrm{T}}$, 其中 $c_{1}$ 为任意常数.
如果 $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的基础解系由两个向量构成. 又因为 $\boldsymbol{A}$ 的第一行为 $(a, b, c)$ 且 $a, b, c$ 不全为零, 所以 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 等价于 $a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0$. 不妨设 $a \neq 0, \boldsymbol{\eta}_{1}=(-b, a, 0)^{\mathrm{T}}$,
$\boldsymbol{\eta}_{2}=(-c, 0, a)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的两个线性无关的解, 故 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\boldsymbol{X}=c_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}+c_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$, 其 中 $c_{1}, c_{2}$ 为任意常数.

解析:

视频讲解

提示1:如果发现题目有错或排版有误或您有更好的解题方法,请点击“编辑”功能进行更新。
提示2: Kmath一直以来坚持内容免费,这导致我们亏损严重。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元, 我们一个月内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里继续免费提供优质内容。捐赠
关闭