【ID】1469 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2005年全国硕士研究生招生考试试题
已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(1-a) x_{1}^{2}+(1-a) x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2(1+a) x_{1} x_{2}$ 的秩为 2 . (I) 求 $a$ 的值;
(II) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$,把 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化成标准形;
(III) 求方程 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解.
答案:
解 (I ) 由于二次型 $f$ 的秩为 2 , 对应的矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1-a & 1+a & 0 \\ 1+a & 1-a & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ 的秩为 2 , 所以有 $\left|\begin{array}{ll}1-a & 1+a \\ 1+a & 1-a\end{array}\right|=-4 a=0$, 得 $a=0 .$
(II) 当 $a=0$ 时, $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$, $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-1 & -1 & 0 \\ -1 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-2\end{array}\right|=(\lambda-2)^{2} \lambda$,
可知 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=2, \lambda_{3}=0$.
$\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_{1}=2$ 的线性无关的特征向量为 $\boldsymbol{\eta}_{1}=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,0,1)^{\mathrm{T}}$;
$\boldsymbol{A}$ 的属于 $\lambda_{3}=0$ 的线性无关的特征向量为 $\boldsymbol{\eta}_{3}=(-1,1,0)^{\mathrm{T}}$.
易见 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{3}$ 两两正交.
将 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{3}$ 单位化得
$$
\boldsymbol{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{e}_{2}=(0,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{e}_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)^{\mathrm{T}},
$$
取 $Q=\left[e_{1}, e_{2}, e_{3}\right]$, 则 $Q$ 为正交矩阵.
令 $X=Q Y$, 得
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}+\lambda_{3} y_{3}^{2}=2 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2} \text {. }
$$
(III) 解法一 在正交变换 $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{Q Y}$ 下, $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 化成 $2 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}=0$, 解之得 $y_{1}=$ $y_{2}=0$, 从而
$$
\boldsymbol{X}=\boldsymbol{Q}\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
y_{3}
\end{array}\right]=\left[\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
y_{3}
\end{array}\right]=y_{3} \boldsymbol{e}_{3}=k(-1,1,0)^{\mathrm{T}},
$$
其中 $k$ 为任意常数.
解法 二 由于
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+2 x_{3}^{2}=0,
$$
所以 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=0, \\ x_{3}=0,\end{array}\right.$
其通解为 $\boldsymbol{X}=k(-1,1,0)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.

解析:

视频讲解

提示1:如果发现题目有错或排版有误或您有更好的解题方法,请点击“编辑”功能进行更新。
提示2: Kmath一直以来坚持内容免费,这导致我们亏损严重。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元, 我们一个月内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里继续免费提供优质内容。捐赠
关闭