题号:1464    题型:解答题    来源:2005年全国硕士研究生招生考试试题
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\},\left[1+x^{2}+y^{2}\right]$ 表示不超过 $1+x^{2}+y^{2}$ 的最大整 数, 计算二重积分 $\iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 2 次查看 我来讲解
答案:
解法一
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\sqrt[4]{2}} r^{3} \sin \theta \cos \theta\left[1+r^{2}\right] \mathrm{d} r \\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos \theta \mathrm{d} \theta \int_{0}^{\sqrt[5]{2}} r^{3}\left[1+r^{2}\right] \mathrm{d} r \\
&=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~d} r+\int_{1}^{\sqrt[4]{2}} 2 r^{3} \mathrm{~d} r\right)=\frac{3}{8} .
\end{aligned}
$$
解法二 记 $D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} < 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$,
$$
D_{2}=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\},
$$
则有 $\left[1+x^{2}+y^{2}\right]=1,(x, y) \in D_{1}$,
$$
\left[1+x^{2}+y^{2}\right]=2,(x, y) \in D_{2} .
$$
于是
$$
\begin{aligned}
\iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y &=\iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{2}} 2 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \sin \theta \cos \theta \mathrm{d} r+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{1}^{\sqrt[3]{2}} 2 r^{3} \sin \theta \cos \theta \mathrm{d} r \\
&=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8} .
\end{aligned}
$$
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭