设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\},\left[1+x^{2}+y^{2}\right]$ 表示不超过 $1+x^{2}+y^{2}$ 的最大整 数, 计算二重积分 $\iint_{D} x y\left[1+x^{2}+y^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$