【ID】1456 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】2005年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$, 则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内 ()
$A.$ 处处可导 $B.$ 恰有一个不可导点. $C.$ 恰有两个不可导点 $D.$ 至少有三个不可导点
答案:
C

解析:

先求 $f(x)$ 的表达式.
$$
\begin{aligned}
&\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1+|x|^{3 n}\right)^{\frac{1}{n}}=1^{0}=1 \quad(|x| < 1), \\
&\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}=\lim _{n \rightarrow+\infty}(1+1)^{\frac{1}{n}}=2^{0}=1 \quad(|x|=1), \\
&\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}=|x|^{3} \lim _{n+1}\left(1+\frac{1}{|x|^{3 n}}\right)^{\frac{1}{n}}=|x|^{3} \quad(|x| > 1) . \\
&\text { 因此 }, f(x)= \begin{cases}1, & |x| \leqslant 1, \\
|x|^{3}, & |x| > 1 .\end{cases}
\end{aligned}
$$
由 $y=f(x)$ 的表达式及它的函数图形可知, $f(x)$ 在 $x=\pm 1$ 处不可导, 其余点 $f(x)$ 均可 导, 因此选 C.

视频讲解

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