题号:1420    题型:解答题    来源:2004年全国硕士研究生招生考试试题
设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
(1+a) x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0, \\
2 x_{1}+(2+a) x_{2}+\cdots+2 x_{n}=0, \\
\cdots \cdots \\
n x_{1}+n x_{2}+\cdots+(n+a) x_{n}=0,
\end{array} \quad(n \geqslant 2),\right.
$$
试问 $a$ 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.
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答案:
对方程组的系数矩阵 $A$ 作初等行变换, 有
$$
A=\left[\begin{array}{ccccc}
1+a & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
2 & 2+a & 2 & \cdots & 2 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
n & n & n & \cdots & n+a
\end{array}\right] \stackrel{(i=2, \cdots n)}{1 \text { 行 } \times(-i)+i \text { 行 }}\left[\begin{array}{ccccc}
1+a & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
-2 a & a & 0 & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-n a & 0 & 0 & \cdots & a
\end{array}\right]=B
$$
对 $|B|$ 是否为零进行讨论:
当 $a=0$ 时, $r(A)=1 < n$, 由齐次方程组有非零解的判别定理: 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩
阵, 齐次方程组 $A x=0$ 有非零解的充要条件是 $r(A) < n$. 故此方程组有非零解, 把 $a=0$ 代入原方程组, 得其同解方程组为
$$
x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0,
$$
此时, $r(A)=1$, 故方程组有 $n-r=n-1$ 个自由末知量. 选 $x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}$ 为自由末
知量, 将他们的 $n-1$ 组值 $(1,0, \cdots, 0),(0,1, \cdots, 0), \cdots,(0,0, \cdots, 1)$ 分别代入 (*) 式, 得基 础解系
$$
\eta_{1}=(-1,1,0, \cdots, 0)^{T}, \quad \eta_{2}=(-1,0,1, \cdots, 0)^{T}, \cdots, \eta_{n-1}=(-1,0,0, \cdots, 1)^{T},
$$
于是方程组的通解为
$$
x=k_{1} \eta_{1}+\cdots+k_{n-1} \eta_{n-1} \text {, 其中 } k_{1}, \cdots, k_{n-1} \text { 为任意常数. }
$$
当 $a \neq 0$ 时, 对矩阵 $B$ 作初等行变换, 有
$$
B \rightarrow\left[\begin{array}{ccccc}
1+a & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
-2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-n & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right] \stackrel{i \times(-1)+1 \text { 行 }}{(i=2,3 \cdots n)}\left[\begin{array}{ccccc}
a+\frac{n(n+1)}{2} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
-2 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
-n & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{array}\right] \text {, }
$$
可知 $a=-\frac{n(n+1)}{2}$ 时, $r(A)=n-1 < n$, 由齐次方程组有非零解的判别定理, 知方程 组也有非零解, 把 $a=-\frac{n(n+1)}{2}$ 代入原方程组, 其同解方程组为
$$
\left\{\begin{array}{c}
-2 x_{1}+x_{2}=0, \\
-3 x_{1}+x_{3}=0 \\
\cdots \cdots \cdots \\
-n x_{1}+x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
此时, $r(A)=n-1$, 故方程组有 $n-r=n-(n-1)=1$ 个自由末知量. 选 $x_{2}$ 为自由
末量, 取 $x_{2}=1$, 由此得基础解系为 $\eta=(1,2, \cdots, n)^{T}$, 于是方程组的通解为 $x=k \eta$,
其中 k 为任意常数


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