题号:1418    题型:解答题    来源:2004年全国硕士研究生招生考试试题
设有方程 $x^{n}+n x-1=0$, 其中 $n$ 为正整数. 证明此方程存在唯一正实根 $x_{n}$, 并证明当 $\alpha > 1$ 时, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收敛
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答案:
【证明】记 $f_{n}(x)=x^{n}+n x-1$, 则 $f_{n}(x)$ 是连续函数, 由 $f_{n}(0)=-1 < 0$,
$f_{n}(1)=n > 0$, 对照连续函数的零点定理知, 方程 $x^{n}+n x-1=0$ 存在正实数根 $x_{n} \in(0,1)$.
当 $x > 0$ 时, $f_{n}^{\prime}(x)=n x^{n-1}+n > 0$, 可见 $f_{n}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增加, 故方程 $x^{n}+n x-1=0$ 存在惟一正实数根 $x_{n}$.
由 $x^{n}+n x-1=0$ 与 $x_{n} > 0$ 知 $0 < x_{n}=\frac{1-x_{n}^{n}}{n} < \frac{1}{n}$, 故当 $\alpha > 1$ 时, 函数 $y=x^{\alpha}$ 单调 增, 所以 $0 < x_{n}^{\alpha} < \left(\frac{1}{n}\right)^{\alpha}$. 而正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ 收玫, 所以当 $\alpha > 1$ 时, 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收敛.
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