题号:1415    题型:解答题    来源:2004年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\mathrm{e} < a < b < \mathrm{e}^{2}$, 证明 $\ln ^{2} b-\ln ^{2} a > \frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a)$.
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答案:
方法 1: 因为函数 $f(x)=\ln ^{2} x$ 在 $[a, b] \subset\left(e, e^{2}\right)$ 上连续, 且在 $(a, b)$ 内可导, 所以满足拉 格朗日中值定理的条件,
对函数 $f(x)=\ln ^{2} x$ 在 $[a, b]$ 上应用拉格朗日中值定理, 得
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\ln ^{2} b-\ln ^{2} a=\left(\ln ^{2} \xi\right)^{\prime}(b-a)=\frac{2 \ln \xi}{\xi}(b-a), e < a < \xi < b < e^{2}
$$
下证: $\frac{2 \ln \xi}{\xi} > \frac{4}{e^{2}}$.
设 $\varphi(t)=\frac{\ln t}{t}$, 则 $\varphi^{\prime}(t)=\frac{1-\ln t}{t^{2}}$, 当 $t > e$ 时, $1-\ln t < 1-\ln e=0$, 即 $\varphi^{\prime}(t) < 0$, 所以 $\varphi(t)$ 单调减少, 又因为 $\xi < e^{2}$, 所以 $\varphi(\xi) > \varphi\left(e^{2}\right)$, 即
$$
\frac{\ln \xi}{\xi} > \frac{\ln e^{2}}{e^{2}}=\frac{2}{e^{2}} \text {, 得 } \frac{2 \ln \xi}{\xi} > \frac{4}{e^{2}}
$$
故 $\ln ^{2} b-\ln ^{2} a > \frac{4}{e^{2}}(b-a)$.
方法 2: 利用单调性, 设 $\varphi(x)=\ln ^{2} x-\frac{4}{e^{2}} x$, 证 $\varphi(x)$ 在区间 $\left(e, e^{2}\right)$ 内严格单调增即可.
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\varphi^{\prime}(x)=2 \frac{\ln x}{x}-\frac{4}{e^{2}},\left(\varphi^{\prime}\left(e^{2}\right)=2 \frac{\ln e^{2}}{e^{2}}-\frac{4}{e^{2}}=\frac{4}{e^{2}}-\frac{4}{e^{2}}=0,\right) \varphi^{\prime \prime}(x)=2 \frac{1-\ln x}{x^{2}},
$$
当 $x > e$ 时, $1-\ln x < 1-\ln e=0, \varphi^{\prime \prime}(x) < 0$, 故 $\varphi^{\prime}(x)$ 单调减少, 从而当 $e < x < e^{2}$ 时, $\varphi^{\prime}(x) > \varphi^{\prime}\left(e^{2}\right)=0$, 即当 $e < x < e^{2}$ 时, $\varphi(x)$ 单调增加.
因此当 $e < x < e^{2}$ 时, $\varphi(b) > \varphi(a)$, 即 $\ln ^{2} b-\frac{4}{e^{2}} b > \ln ^{2} a-\frac{4}{e^{2}} a$, 故 $\ln ^{2} b-\ln ^{2} a > \frac{4}{e^{2}}(b-a)$.
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