【ID】1410 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】2004年全国硕士研究生招生考试试题
设 $f(x)$ 为连续函数, $F(t)=\int_{1}^{t} \mathrm{~d} y \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $F^{\prime}(2)$ 等于 ( )
$A.$ $2 f(2)$. $B.$ $f(2)$. $C.$ $(\mathrm{C})-f(2)$ $D.$ $0$
答案:
B

解析:

在应用变限的积分对变量 $x$ 求导时, 应注意被积函数中不能含有变量 $x$ :
$$
\left[\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) d t\right]^{\prime}=f[b(x)] b^{\prime}(x)-f[a(x)] a^{\prime}(x)
$$
否则, 应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量 $x$ 换到积分号外 或积分线上.
方法 1: 交换积分次序,使得只有外面这道积分限中才有 $t$, 其他地方不出现 $t$
由 $F(t)=\int_{1}^{t} d y \int_{y}^{t} f(x) d x$ 知: $\left\{\begin{array}{l}y < x < t \\ 1 < y < t\end{array}\right.$, 交换积分次序 $\left\{\begin{array}{l}1 < x < t \\ 1 < y < x\end{array}\right.$, 得
$$
F(t)=\int_{1}^{t} d y \int_{y}^{t} f(x) d x=\int_{1}^{t}\left[\int_{1}^{x} f(x) d y\right] d x=\int_{1}^{t} f(x)(x-1) d x
$$
于是, $F^{\prime}(t)=f(t)(t-1)$, 从而有 $F^{\prime}(2)=f(2)$, 故应选(B).
方法 2: 设 $\Phi^{\prime}(x)=f(x)$, 于是
$$
\begin{aligned}
F(t) &=\int_{1}^{t} d y \int_{y}^{t} f(x) d x=\int_{1}^{t} d y \int_{y}^{t} \Phi^{\prime}(x) d x=\int_{1}^{t} d y \int_{y}^{t} d \Phi(x) \\
&=\int_{1}^{t}[\Phi(t)-\Phi(y)] d y=\Phi(t)(t-1)-\int_{1}^{t} \Phi(y) d y
\end{aligned}
$$
所以 $F^{\prime}(t)=\Phi^{\prime}(t)(t-1)+\Phi(t)-\Phi(t)=f(t)(t-1)$,
所以 $F^{\prime}(2)=f(2)$, 选(B).

视频讲解

提示1:如果发现题目有错或排版有误或您有更好的解题方法,请点击“编辑”功能进行更新。
提示2: Kmath一直以来坚持内容免费,这导致我们亏损严重。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元, 我们一个月内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里继续免费提供优质内容。捐赠
关闭