题号:1409    题型:单选题    来源:2004年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数. 下列结论中正确的是 ( )
$A.$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛 $B.$ 若存在非零常数 $\lambda$, 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\lambda$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散. $C.$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} a_{n}=0$. $D.$ 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散, 则存在非零常数 $\lambda$, 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\lambda$.
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答案:
B

解析:

对于玫散性的判定问题, 若不便直接推证, 往往可通过反例排除找到正确选项。
方法 1:排除法. 取 $a_{n}=\frac{1}{(n+1) \ln (n+1)}$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$,
又 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln ^{p}(n+1)}\left\{\begin{array}{l}\text { 收敛, 当 } p > 1 \\ \text { 发散, 当 } p \leq 1\end{array}\right.$, 所以 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln (n+1)}$ 发散, 排除 A, D;
又取 $a_{n}=\frac{1}{n \sqrt{n}}$, 因为 $p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l}\text { 收敛, 当 } p > 1 \\ \text { 发散, 当 } p \leq 1\end{array}\right.$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ 收敛, 但 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{1}{n \sqrt{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}=\infty$, 排除 $(\mathrm{C})$, 故应选(B).
方法 2: 证明(B)正确. $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\lambda \neq 0$, 即 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\frac{1}{n}}=\lambda$. 因为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散, 由比较判别法的极限形式知, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也发散, 故应选(B)..
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