题号:1408    题型:单选题    来源:2004年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设函数 $f(x)$ 连续, 且 $f^{\prime}(0) > 0$, 则存在 $\delta > 0$, 使得 ( )
$A.$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加. $B.$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少. $C.$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$, 有 $f(x) > f(0)$. $D.$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$, 有 $f(x) > f(0)$.
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答案:
C

解析:

函数 $f(x)$ 只在一点的导数大于零, 一般不能推导出单调性, 因此可排除(A), (B). 由导数的定义, 知 $f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} > 0$ 根据极限的保号性, 知存在 $\delta > 0$, 当 $x \in(-\delta, 0) \bigcup(0, \delta)$ 时, 有 $\frac{f(x)-f(0)}{x} > 0$. 即当 $x \in(-\delta, 0)$ 时, $x < 0$, 有 $f(x) < f(0)$; 而当 $x \in(0, \delta)$ 时, $x > 0$ 有 $f(x) > f(0)$.

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