题号:1406    题型:填空题    来源:2004年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 则 $P\{X > \sqrt{D(X)}\}=$
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答案:
$\frac{1}{e}$

解析:

本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征, 而不应在考试时再去推算. 指数分布的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda_{x} x}, & \text { 若 } x > 0 \\
0 & \text { 若 } x \leq 0
\end{array} \text {, 其方差 } D X=\frac{1}{\lambda^{2}} .\right.
$$
于是, 由一维概率计算公式, $P\{a \leq X \leq b\}=\int_{a}^{b} f_{X}(x) d x$, 有
$$
P\{X > \sqrt{D X}\}=P\left\{X > \frac{1}{\lambda}\right\}=\int_{\frac{1}{\lambda}}^{+\infty} \lambda e^{-\lambda x} d x=-\left.e^{-\lambda x}\right|_{\frac{1}{\lambda}} ^{+\infty}=\frac{1}{e}
$$
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