题号:1403    题型:填空题    来源:2004年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设 $L$ 为正向圆周 $x^{2}+y^{2}=2$ 在第一象限中的部分, 则曲线积分 $\int_{L} x \mathrm{~d} y-2 y \mathrm{~d} x$ 的值为
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答案:
$\frac{3}{2} \pi$

解析:

利用极坐标将曲线用参数方程表示, 相应曲线积分可化为定积分.
$L$ 为正向圆周 $x^{2}+y^{2}=2$ 在第一象限中的部分, 用参数式可表示为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\sqrt{2} \cos \theta, \\
y=\sqrt{2} \sin \theta,
\end{array} \quad \theta: 0 \rightarrow \frac{\pi}{2} .\right.
$$
于是
$$
\begin{aligned}
&\int_{L} x d y-2 y d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\sqrt{2} \cos \theta d \sqrt{2} \sin \theta-2 \sqrt{2} \sin \theta d \sqrt{2} \cos \theta] \\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\sqrt{2} \cos \theta \cdot \sqrt{2} \cos \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta \cdot \sqrt{2} \sin \theta] d \theta \\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[2 \cos ^{2} \theta+4 \sin ^{2} \theta\right] d \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[2\left(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta\right)+2 \sin ^{2} \theta\right] d \theta \\
&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[2+2 \sin ^{2} \theta\right] d \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 d \theta+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin ^{2} \theta d \theta=\left.2 \theta\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos 2 \theta) d \theta \\
&=\pi+\left.\theta\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2 \theta d 2 \theta=\frac{3 \pi}{2}-\left.\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \\
&=\frac{3 \pi}{2}-\frac{1}{2}(\sin \pi-\sin 0)=\frac{3 \pi}{2}-0=\frac{3 \pi}{2}
\end{aligned}
$$

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