题号:1402    题型:填空题    来源:2004年全国硕士研究生招生考试试题
已知 $f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}\right)=x \mathrm{e}^{-x}$, 且 $f(1)=0$, 则 $f(x)=$
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答案:
$\frac{1}{2}(\ln x)^{2}$

解析:

先求出 $f^{\prime}(x)$ 的表达式, 再积分即可.
方法 1: 令 $e^{x}=t$, 则 $x=\ln t, e^{-x}=\frac{1}{t}$, 于是有 $f^{\prime}(t)=\frac{\ln t}{t}$, 即 $f^{\prime}(x)=\frac{\ln x}{x}$. 两边积分得 $f(x)=\int \frac{\ln x}{x} d x=\int \ln x d \ln x=\frac{1}{2}(\ln x)^{2}+C$.
利用初始条件 $f(1)=0$, 代入上式: $f(1)=\frac{1}{2}(\ln 1)^{2}+C=C=0$, 即 $C=0$, 故所 求函数为 $f(x)=\frac{1}{2}(\ln x)^{2}$.
方法 2: 由 $x=\ln e^{x}$, 所以 $f^{\prime}\left(e^{x}\right)=x e^{-x}=\ln e^{x} \cdot e^{-x}=\frac{\ln e^{x}}{e^{x}}$, 所以 $f^{\prime}(x)=\frac{\ln x}{x}$. 下同.
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