【ID】1375 【题型】填空题 【类型】高考真题 【来源】2020 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
如图, 在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $C C_{1} \perp$ 平面 $A B C, A C \perp B C, A C=B C=2, C C_{1}=3$, 点 $D, E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上, 且 $A D=1 \quad C E=2, M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点.
(I) 求证: $C_{1} M \perp B_{1} D$;
( II ) 求二面角 $B-B_{1} E-D$ 的正弦值;
(III) 求直线 $A B$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值.
答案:
依题意, 以 $C$ 为原点, 分别以 $\overrightarrow{C A} 、 \overrightarrow{C B} 、 \overrightarrow{C C_{1}}$ 的方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角 坐标系 (如图),



可得 $C(0,0,0) 、 A(2,0,0) 、 B(0,2,0) 、 C_{1}(0,0,3)$ 、
$$
A_{1}(2,0,3) 、 B_{1}(0,2,3) 、 D(2,0,1) 、 E(0,0,2) 、 M(1,1,3) \text {. }
$$
(I)依题意, $\overrightarrow{C_{1} M}=(1,1,0), \overrightarrow{B_{1} D}=(2,-2,-2)$,
从而 $\overrightarrow{C_{1} M} \cdot \overrightarrow{B_{1} D}=2-2+0=0$, 所以 $C_{1} M \perp B_{1} D$;
(II) 依题意, $\overrightarrow{C A}=(2,0,0)$ 是平面 $B B_{1} E$ 的一个法向量,
$$
\overrightarrow{E B_{1}}=(0,2,1), \quad \overrightarrow{E D}=(2,0,-1) .
$$
设 $\vec{n}=(x, y, z)$ 为平面 $D B_{1} E$ 的法向量,
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{E B_{1}}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{E D}=0\end{array}\right.$ , 即 $\left\{\begin{array}{l}2 y+z=0 \\ 2 x-z=0\end{array}\right.$,
不妨设 $x=1$, 可得 $\vec{n}=(1,-1,2)$.
$$
\cos \langle\overrightarrow{C A}, \vec{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{C A} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{C A}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{2}{2 \times \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6} \text {, }
$$
$$
\therefore \sin \langle\overrightarrow{C A}, \vec{n}\rangle=\sqrt{\left.1-\cos ^{2} < \overrightarrow{C A}, \vec{n}\right\rangle}=\frac{\sqrt{30}}{6} \text {. }
$$
所以, 二面角 $B-B_{1} E-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{6}$;

(III) 依题意, $\overrightarrow{A B}=(-2,2,0)$.
由(II) 知 $\vec{n}=(1,-1,2)$ 为平面 $D B_{1} E$ 的一个法向量, 于是

$$
\cos \langle\overrightarrow{A B}, \vec{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{A B} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{A B}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{-4}{2 \sqrt{2} \times \sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{3}}{3} .
$$
所以, 直线 $A B$ 与平面 $D B_{1} E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

解析:

视频讲解

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