如图，直线 $y=\frac{3}{4} x+3$ 与 $x$ 轴、 $\mathrm{y}$ 轴分别交于 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点，抛物线 $y=\frac{3}{4} x^2+b x+c$ 经过 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点.

（1）求抛物线的表达式；
（2）点 $\mathrm{D}$ 是抛物线在第二象限内的点，过点 $\mathrm{D}$ 作 $x$ 轴的平行线与直线 $\mathrm{AB}$ 交于点 $\mathrm{C}$ ，求 $\mathrm{DC}$ 的长的最大值;
(3) 点 $Q$ 是线段 $A O$ 上的动点，点 $P$ 是抛物线在第一象限内的动点，连结 $P Q$ 交 $y$ 轴于点 $N$. 是否存在点 $P$ ，使 $\triangle A B Q$ 与 $\triangle B Q N$ 相似，若存在，求出点P的坐标; 若不存在，说明理由.