题号:1373    题型:填空题    来源:2020 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
类型:高考真题
如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $\angle B=60^{\circ}, \quad A B=3, \quad B C=6$, 且 $\overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}=-\frac{3}{2}$, 则实数 $\lambda$ 的值为 , 若 $M, N$ 是线段 $B C$ 上的动点, 且 $|\overrightarrow{M N}|=1$, 则 $\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}$ 的最小值为


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答案:
(1). $\frac{1}{6}$
(2). $\frac{13}{2}$

解析:

可得 $\angle B A D=120^{\circ}$, 利用平面向量数量积的定义求得 $\lambda$ 的值, 然后以点 $B$ 为坐标原点, $B C$ 所在直线为 $x$
轴建立平面直角坐标系, 设点 $M(x, 0)$, 则点 $N(x+1,0)$ (其中 $0 \leq x \leq 5$ ), 得出 $\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}$ 关于 $x$ 的函数
表达式, 利用二次函数的基本性质求得 $\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}$ 的最小值.
$\because \overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{B C}, \therefore A D / / B C, \therefore \angle B A D=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
&\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}=\lambda \overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{A B}=\lambda|\overrightarrow{B C}| \cdot|\overrightarrow{A B}| \\
&=\lambda \times 6 \times 3 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=-9 \lambda=-\frac{3}{2}
\end{aligned}
$$
解得 $\lambda=\frac{1}{6}$,
以点 $B$ 为坐标原点, $B C$ 所在直线为 $x$ 轴建立如下图所示的平面直角坐标系 $x B y$,

$$
\because B C=6, \therefore C(6,0),
$$
$\because|A B|=3, \angle A B C=60^{\circ}, \therefore A$ 的坐标为 $A\left(\frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$,
$$
\because \text { 又 } \because \overrightarrow{A D}=\frac{1}{6} \overrightarrow{B C} \text {, 则 } D\left(\frac{5}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \text {, 设 } M(x, 0) \text {, 则 } N(x+1,0) \text { (其中 } 0 \leq x \leq 5 \text { ), }
$$
$$
\overrightarrow{D M}=\left(x-\frac{5}{2},-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right), \quad \overrightarrow{D N}=\left(x-\frac{3}{2},-\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \text {, }
$$
$$
\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}=\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)^{2}=x^{2}-4 x+\frac{21}{2}=(x-2)^{2}+\frac{13}{2},
$$
所以, 当 $x=2$ 时, $\overrightarrow{D M} \cdot \overrightarrow{D N}$ 取得最小值 $\frac{13}{2}$. 故答案为: $\frac{1}{6} ; \frac{13}{2}$.

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