在坐标系 $x O y$ 中，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A ， B$ 在 $x$ 轴上， $C(2,-3) ， D(-1,-3)$. 抛物线 $y=a x^2-2 a x+c(a>0)$ 与 $x$ 轴交于点 $E(-2,0)$ 和点 $F$.

(1)如图1，若抛物线过点 $C$ ，求抛物线的表达式和点 $F$ 的坐标.
(2)如图2，在 (1) 的条件下，连接 $C F$ ，作直线 $C E$ ，平移线段 $C F$ ，使点 $C$ 的对应点 $P$ 落在直线 $C E$ 上，点 $F$ 的对应点 $Q$ 落在抛物线上，求点 $Q$ 的坐标.
(3) 若抛物线 $y=a x^2-2 a x+c(a>0)$ 与正方形 $A B C D$ 恰有两个交点，直接写出 $a$ 的取值范围.