题号:1372    题型:填空题    来源:2020 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
已知 $a > 0, b > 0$, 且 $a b=1$, 则 $\frac{1}{2 a}+\frac{1}{2 b}+\frac{8}{a+b}$ 的最小值为
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答案:
4

解析:

$\because a > 0, b > 0, \therefore a+b > 0, a b=1, \therefore \frac{1}{2 a}+\frac{1}{2 b}+\frac{8}{a+b}=\frac{a b}{2 a}+\frac{a b}{2 b}+\frac{8}{a+b}$ $=\frac{a+b}{2}+\frac{8}{a+b} \geq 2 \sqrt{\frac{a+b}{2} \times \frac{8}{a+b}}=4$, 当且仅当 $a+b=4$ 时取等号,
结合 $a b=1$, 解得 $a=2-\sqrt{3}, b=2+\sqrt{3}$, 或 $a=2+\sqrt{3}, b=2-\sqrt{3}$ 时, 等号成立. 故答案为: 4

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