设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-2(x-\theta)}, & x>\theta \\ 0, & x \leqslant \theta\end{cases}
$$
其中 $\theta>0$ 是末知参数. 从总体 $X$ 中抽取简单随机样本 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$, 记 $\hat{\theta}=\min \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}$.
(1) 求总体 $X$ 的分布函数 $F(x)$;
(2) 求统计量 $\hat{\theta}$ 的分布函数 $F_{\hat{\theta}}(x)$;
(3) 如果用作为 $\theta$ 的估计量, 讨论它是否具有无偏性.