题号:1359    题型:解答题    来源:2003年全国硕士研究生招生考试试题
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-2(x-\theta)}, & x > \theta \\ 0, & x \leqslant \theta\end{cases}
$$
其中 $\theta > 0$ 是末知参数. 从总体 $X$ 中抽取简单随机样本 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$, 记 $\hat{\theta}=\min \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}$.
(1) 求总体 $X$ 的分布函数 $F(x)$;
(2) 求统计量 $\hat{\theta}$ 的分布函数 $F_{\hat{\theta}}(x)$;
(3) 如果用作为 $\theta$ 的估计量, 讨论它是否具有无偏性.
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答案:
(1) 由连续型随机变量分布函数的定义, 有
$$
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) d t=\left\{\begin{array}{cc}
1-e^{-2(x-\theta)}, & x > \theta, \\
0, & x \leq \theta
\end{array}\right.
$$
(2) 由题给 $\hat{\theta}=\min \left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)$., 有
$$
\begin{aligned}
F_{\hat{\theta}}(x) &=P\{\hat{\theta} \leq x\}=P\left\{\min \left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) \leq x\right\} \\
&=1-P\left\{\min \left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right) > x\right\}=1-P\left\{X_{1} > x, X_{2} > x, \cdots, X_{n} > x\right\} \\
&=1-[1-F(x)]^{n}=\left\{\begin{array}{cc}
1-e^{-2 n(x-\theta)}, & x > \theta, \\
0, \quad & x \leq \theta .
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
(3) 由连续型随机变量概率密度是分布函数在相应区间上的微分得 $\hat{\theta}$ 概率密度为
$$
f_{\hat{\theta}}(x)=\frac{d F_{\hat{\theta}}(x)}{d x}=\left\{\begin{array}{cc}
2 n e^{-2 n(x-\theta)}, & x > \theta, \\
0, & x \leq \theta
\end{array}\right.
$$
因为 $E(\hat{\theta})=\int_{-\infty}^{+\infty} x f_{\hat{\theta}}(x) d x=\int_{\theta}^{+\infty} 2 n x e^{-2 n(x-\theta)} d x=\theta+\frac{1}{2 n} \neq \theta$,
所以 $\hat{\theta}$ 作为 $\theta$ 的估计量不具有无偏性.
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