题号:1358    题型:解答题    来源:2003年全国硕士研究生招生考试试题
已知甲、乙两箱中装有同种产品, 其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品, 乙箱中仅装有 3 件合格 品. 从甲箱中任取 3 件产品放人乙箱后, 求:
(1) 乙箱中次品件数 $X$ 的数学期望;
(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
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答案:
$X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$, 取出 $k$ 件次品 $(k=0,1,2,3)$ 的取法有 $C_{3}^{k} C_{3}^{3-k}$ 种;
样本空间即从两个箱子中取出 3 件产品的总的取法数为 $C_{6}^{3}$. 所以有, $X$ 的概率分布为
$$
P\{X=k\}=\frac{C_{3}^{k} C_{3}^{3-k}}{C_{6}^{3}}, \quad k=0,1,2,3 .
$$




因此, 由离散型数学期望的定义
$$
E(X)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \cdot P\left\{X=x_{k}\right\}
$$
易得 $E(X)=0 \times \frac{1}{20}+1 \times \frac{9}{20}+2 \times \frac{9}{20}+3 \times \frac{1}{20}=\frac{3}{2}$.


(2) 设 $A$ 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”, 由于 $\{X=0\},\{X=1\},\{X=2\}$,
$\{X=3\}$ 构成完备事件组, 因此根据全概率公式, 有
$$
\begin{aligned}
P(A) &=\sum_{k=0}^{3} P\{X=k\} P\{A \mid X=k\}=\sum_{k=0}^{3} P\{X=k\} \cdot \frac{k}{6}=\frac{1}{6} \sum_{k=0}^{3} k \cdot P\{X=k\} \\
&=\frac{1}{6} E(X)=\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2}=\frac{1}{4} .
\end{aligned}
$$
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