题号:1357    题型:解答题    来源:2003年全国硕士研究生招生考试试题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
$$
\begin{aligned}
&l_{1}: a x+2 b y+3 c=0 ; \\
&l_{2}: b x+2 c y+3 a=0 ; \\
&l_{3}: c x+2 a y+3 b=0 .
\end{aligned}
$$
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 $a+b+c=0$.
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答案:
方法 1: “必要性”. 设三条直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 交于一点, 则线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a x+2 b y=-3 c \\
b x+2 c y=-3 a, \\
c x+2 a y=-3 b
\end{array}\right.
$$
有唯一解, 故系数矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}a & 2 b \\ b & 2 c \\ c & 2 a\end{array}\right]$ 与增广矩阵 $\bar{A}=\left[\begin{array}{ccc}a & 2 b & -3 c \\ b & 2 c & -3 a \\ c & 2 a & -3 b\end{array}\right]$ 的秩均为 2 , 于 是 $|\bar{A}|=0$.
$$
\begin{aligned}
|\bar{A}| &=\left|\begin{array}{ccc}
a & 2 b & -3 c \\
b & 2 c & -3 a \\
c & 2 a & -3 b
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
a+b+c & 2(b+c+a) & -3(c+a+b) \\
b & 2 c & -3 a \\
c & 2 a & -3 b
\end{array}\right| \\
&=(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -3 \\
b & 2 c & -3 a \\
c & 2 a & -3 b
\end{array}\right|=-6(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&=-6(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
b & c-b & a-b \\
c & a-c & b-c
\end{array}\right|=-6(a+b+c)\left|\begin{array}{cc}
c-b & a-b \\
a-c & b-c
\end{array}\right| \\
&=-6(a+b+c)[(c-b)(b-c)-(a-b)(a-c)] \\
&=-6(a+b+c)\left(b c-c^{2}-b^{2}+b c-a^{2}+a c+a b-b c\right) \\
&=6(a+b+c)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a c-a b-b c\right) \\
&=3(a+b+c)\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right],
\end{aligned}
$$
由于三条直线互不相同, 所以 $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \neq 0$, 故 $a+b+c=0$.
“充分性”. 由 $a+b+c=0$, 则从必要性的证明可知, $|\bar{A}|=0$, 故秩 $(\bar{A}) < 3$.
由于
$$
\left|\begin{array}{ll}
a & 2 b \\
b & 2 c
\end{array}\right|=2\left(a c-b^{2}\right)=-2\left[a(a+b)+b^{2}\right]=-2\left[\left(a+\frac{1}{2} b\right)^{2}+\frac{3}{4} b^{2}\right] \neq 0,
$$
故秩 $(A)=2$. 于是, 秩 $(A)=$ 秩 $(\bar{A})=2$. 因此方程组 $(*)$ 有唯一解, 即三直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 交 于一点.

方法 2: “必要性”
$$
\text { 设三直线交于一点 }\left(x_{0}, y_{0}\right) \text {, 则 }\left[\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0} \\
1
\end{array}\right] \text { 为 } B X=0 \text { 的非零解, 其中 } B=\left[\begin{array}{ccc}
a & 2 b & 3 c \\
b & 2 c & 3 a \\
c & 2 a & 3 b
\end{array}\right] \text {. }
$$
所以 $|B|=0$. 而
$$
\begin{aligned}
|B| &=\left|\begin{array}{lll}
a & 2 b & 3 c \\
b & 2 c & 3 a \\
c & 2 a & 3 b
\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{lll}
a & 2 b & -3 c \\
b & 2 c & -3 a \\
c & 2 a & -3 b
\end{array}\right|=-|\bar{A}| \\
&=-3(a+b+c)\left[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\right],(\text { 解法同方法 1) }
\end{aligned}
$$
但根据题设 $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \neq 0$, 故 $a+b+c=0$.
“充分性”: 考虑线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a x+2 b y=-3 c \\
b x+2 c y=-3 a \\
c x+2 a y=-3 b
\end{array}\right.
$$

将方程组 $(*)$ 的三个方程相加, 并由 $a+b+c=0$. 可知, 方程组 $(*)$ 等价于方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a x+2 b y=-3 c, \\
b x+2 c y=-3 a .
\end{array}\right.
$$
因为 $\left|\begin{array}{ll}a & 2 b \\ b & 2 c\end{array}\right|=2\left(a c-b^{2}\right)=-2\left[a(a+b)+b^{2}\right]=-\left[a^{2}+b^{2}+(a+b)^{2}\right] \neq 0$, 故方程组 $(* *)$ 有唯一解, 所以方程组 $(*)$ 有唯一解, 即三直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 交于一点.
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