题号:1356    题型:解答题    来源:2003年全国硕士研究生招生考试试题
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$, 求 $\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ 的特征值与特征向量, 其中 $\boldsymbol{A}^{*}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵.
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答案:
法 1: 可先求出 $A^{*}, P^{-1}$, 进而确定 $B=P^{-1} A^{*} P$ 及 $B+2 E$, 再按通常方法确
定其特征值和特征向量; 法 2: 先求出 $A$ 的特征值与特征向量, 再相应地确定 $A^{*}$ 的特征值
与特征向量, 最终根据 $B+2 E$ 与 $A^{*}+2 E$ 相似求出其特征值与特征向量.
【详解】方法 1:经计算可得
$$
A^{*}=\left[\begin{array}{ccc}
5 & -2 & -2 \\
-2 & 5 & -2 \\
-2 & -2 & 5
\end{array}\right], \quad P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \text {, }
$$
所以
$B=P^{-1} A^{*} P=\left[\begin{array}{ccc}7 & 0 & 0 \\ -2 & 5 & -4 \\ -2 & -2 & 3\end{array}\right], \quad B+2 E=\left[\begin{array}{ccc}9 & 0 & 0 \\ -2 & 7 & -4 \\ -2 & -2 & 5\end{array}\right]$.
$$
\text { 令 }|\lambda E-(B+2 E)|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-9 & 0 & 0 \\
2 & \lambda-7 & 4 \\
2 & 2 & \lambda-5
\end{array}\right|=(\lambda-9)^{2}(\lambda-3)=0 \text {, }
$$
故 $B+2 E$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=9, \lambda_{3}=3$.
当 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=9$ 时, 解 $(9 E-A) x=0$, 得线性无关的特征向量为

$$
\eta_{1}=\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \quad \eta_{2}=\left[\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
1
\end{array}\right]
$$
所以属于特征值 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=9$ 的所有特征向量为
$$
k_{1} \eta_{1}+k_{2} \eta_{2}=k_{1}\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]+k_{2}\left[\begin{array}{c}
-2 \\
0 \\
1
\end{array}\right] \text {, 其中 } k_{1}, k_{2} \text { 是不全为零的任意常数. }
$$
当 $\lambda_{3}=3$ 时, 解 $(3 E-A) x=0$, 得线性无关的特征向量为
$$
\eta_{3}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right],
$$
所以属于特征值 $\lambda_{3}=3$ 的所有特征向量为 $k_{3} \eta_{3}=k_{3}\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$, 其中 $k_{3} \neq 0$ 为任意常数.


方法 2: 设 $A$ 的特征值为 $\lambda$, 对应的特征向量为 $\eta$, 即 $A \eta=\lambda \eta$. 由于 $|A|=7 \neq 0$, 所以 $\lambda \neq 0$.
所以 $A^{*} A=|A| E \Rightarrow A^{*} A \eta=|A| E \eta \Rightarrow A^{*}(A \eta)=|A|(E \eta)$
$$
\Rightarrow A^{*}(\lambda \eta)=|A| \eta \Rightarrow \lambda A^{*} \eta=|A| \eta \Rightarrow A^{*} \eta=\frac{|A|}{\lambda} \eta,
$$
于是 $B\left(P^{-1} \eta\right)=P^{-1} A^{*} P\left(P^{-1} \eta\right)=\frac{|A|}{\lambda}\left(P^{-1} \eta\right)$,
$$
(B+2 E) P^{-1} \eta=\left(\frac{|A|}{\lambda}+2\right) P^{-1} \eta .
$$
因此, $\frac{|A|}{\lambda}+2$ 为 $B+2 E$ 的特征值, 对应的特征向量为 $P^{-1} \eta$.
由于 $|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-3 & -2 & -2 \\ -2 & \lambda-3 & -2 \\ -2 & -2 & \lambda-3\end{array}\right|=(\lambda-1)^{2}(\lambda-7)$, 故 $A$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1, \lambda_{3}=7$
当 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$ 时, 对应的线性无关特征向量可取为 $\eta_{1}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right], \quad \eta_{2}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$.

当 $\lambda_{3}=7$ 时, 对应的一个特征向量为 $\eta_{3}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$.
由 $P^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$, 得 $P^{-1} \eta_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right], \quad P^{-1} \eta_{2}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right], \quad P^{-1} \eta_{3}=\left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$. 因此, $B+2 E$ 的三个特征值分别为 $9,9,3$. 对应于特征值 9 的全部特征向量为 $k_{1} P^{-1} \eta_{1}+k_{2} P^{-1} \eta_{2}=k_{1}\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right]+k_{2}\left[\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right]$, 其中 $k_{1}, k_{2}$ 是不全为零的任意常数; 对应于特征值 3 的全部特征向量为
$$
k_{3} P^{-1} \eta_{3}=k_{3}\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
1
\end{array}\right] \text {, 其中 } k_{3} \text { 是不为零的任意常数. }
$$
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