题号:1354    题型:解答题    来源:2003年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $y=y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数, 且 $y^{\prime} \neq 0, x=x(y)$ 是 $y=y(x)$ 的反函数.
(1) 试将 $x=x(y)$ 所满足的微分方程 $\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}+(y+\sin x)\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)^{3}=0$ 变换为 $y=y(x)$ 满足的微分方程;
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2}$ 的解.
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答案:
(1) 将题中的 $\frac{d x}{d y}$ 与 $\frac{d^{2} x}{d y^{2}}$ 变换成以 $x$ 为自变量 $y$ 为因变量的导数 $\frac{d y}{d x}$ 与 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ 来表 示(即通常所说的反函数变量变换), 有
$$
\frac{d x}{d y}=\frac{1}{\frac{d y}{d x}}=\frac{1}{y^{\prime}}, \frac{d^{2} x}{d y^{2}}=\frac{d}{d y}\left(\frac{d x}{d y}\right)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{y^{\prime}}\right) \cdot \frac{d x}{d y}=\frac{-y^{\prime \prime}}{y^{\prime 2}} \cdot \frac{1}{y^{\prime}}=-\frac{y^{\prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^{3}} .
$$
代入原方程, 得 $y^{\prime \prime}-y=\sin x$.
(2) 方程 $(*)$ 所对应的齐次方程为 $y^{\prime \prime}-y=0$, 特征方程为 $r^{2}-1=0$, 根 $r_{1,2}=\pm 1$, 因此 通解为 $Y=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-x}$. 由于 $\lambda+i \omega$ 不是特征方程得根, 所以设方程(*)的特解为
$$
y^{\prime \prime}=A \cos x+B \sin x
$$
则 $y^{\prime \prime}=-A \sin x+B \cos x, y^{* \prime \prime}=-A \cos x-B \sin x$

代入方程 (*), 得: $-A \cos x-B \sin x-A \cos x-B \sin x=-2 A \cos x-2 B \sin x=\sin x$ 解得 $A=0, B=-\frac{1}{2}$, 故 $y^{*}=-\frac{1}{2} \sin x$. 从而 $y^{\prime \prime}-y=\sin x$ 的通解为
$$
y=Y+y^{*}=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-x}-\frac{1}{2} \sin x .
$$
由 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2}$, 得 $C_{1}=1, C_{2}=-1$. 故变换后的微分方程满足初始条件
$$
\begin{aligned}
&y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2} \text { 的解为 } \\
&y=e^{x}-e^{-x}-\frac{1}{2} \sin x .
\end{aligned}
$$
且 $y(x)$ 的导函数 $y^{\prime}(x)=e^{x}+e^{-x}-\frac{1}{2} \cos x > 0$, 满足题设 $y^{\prime} \neq 0$ 条件.
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