题号:1351    题型:解答题    来源:2003年全国硕士研究生招生考试试题
将函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展开成 $x$ 的幂级数, 并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}$ 的和.
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答案:
本题可先求导,
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &=\frac{\left(\frac{1-2 x}{1+2 x}\right)^{\prime}}{1+\left(\frac{1-2 x}{1+2 x}\right)^{2}}=\frac{\frac{-2(1+2 x)-2(1-2 x)}{(1+2 x)^{2}}}{1+\left(\frac{1-2 x}{1+2 x}\right)^{2}} \quad \text { 基本求导公式 } \\
&=\frac{-4}{2\left(1+4 x^{2}\right)}=\frac{-2}{1+4 x^{2}}=-2 \frac{1}{1+4 x^{2}}
\end{aligned}
$$
对于函数 $\frac{1}{1+4 x^{2}}$, 可以利用我们所熟悉的函数 $\frac{1}{1-x}$ 的幂级数展开:
$$
\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} \quad(-1 < x < 1)
$$
所以 $\frac{1}{1+4 x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-4 x^{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} 4^{n} x^{2 n} \quad-1 < -4 x^{2} < 1 \quad$ (把 $x$ 换成 $-4 x^{2}$ ) 有 $f^{\prime}(x)=-2 \frac{1}{1+4 x^{2}}=-2 \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} 4^{n} x^{2 n}, \quad x \in\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. 对上式两边求积分, 得
$$
\begin{aligned}
f(x)-f(0) &=\int_{0}^{x} f^{\prime}(t) d t=-2 \int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} 4^{n} t^{2 n}\right) d t \\
&=-2 \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} 4^{n} \int_{0}^{x} t^{2 n} d t=-2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 4^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}, x \in\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right),
\end{aligned}
$$
又因为 $f(0)=\frac{\pi}{4}$, 所以
$$
f(x)=f(0)+\int_{0}^{x} f^{\prime}(t) d t=\frac{\pi}{4}-2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} 4^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}, x \in\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) .
$$

在 $x=\frac{1}{2}$ 处, 右边级数成为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} \cdot \frac{1}{2}$, 收敛(利用莱布尼茨定理), 左边函数 $f(x)$ 连 续, 所以成立范围可扩大到 $x=\frac{1}{2}$ 处. 而在 $x=-\frac{1}{2}$ 处, 右边级数虽然收敛, 但左边函数 $f(x)$ 不连续, 所以成立范围只能是 $x \in\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$.
为了求 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}$, 令 $x=\frac{1}{2}$ 代入 $\left({ }^{*}\right)$ 得
$$
f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{4}-2 \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{(-1) 4^{n}}{2 n+1} \cdot \frac{1}{2^{2 n+1}}\right]=\frac{\pi}{4}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1},
$$

再由 $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$, 得
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}=\frac{\pi}{4}-f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{4} .
$$
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