题号:1350    题型:解答题    来源:2003年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线, 该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 $D$.
(1) 求 $D$ 的面积 $A$;
(2) 求 $D$ 绕直线 $x=\mathrm{e}$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V$.
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答案:
为了求 $D$ 的面积, 首先要求出切点的坐标, 设切点的横坐标为 $x_{0}$, 则曲线 $y=\ln x$
在点 $\left(x_{0}, \ln x_{0}\right)$ 处的切线方程是:
$$
y=\ln x_{0}+\frac{1}{x_{0}}\left(x-x_{0}\right) .
$$
切线的斜率为 $\left.y^{\prime}\right|_{x_{0}}=\frac{1}{x_{0}}$, 由于该切线过原点, 将 $(0,0)$ 点代入切线方程, 得 $\ln x_{0}-1=0$,
从而 $x_{0}=e$. 所以该切线的方程为
$$
y=\frac{1}{e} x
$$
(1) 利用平面图形 $D$ 的面积公式 $S=\int_{\alpha}^{\beta}|\varphi(y)-\psi(y)| d y$, 得
$$
A=\int_{0}^{1}\left(e^{y}-e y\right) d y=\frac{1}{2} e-1 .
$$
(2) 旋转体体积可用一大立体(圆雉)体积减去一小立体体积进行计算, 为了帮助理解, 可画一草图.


切线 $y=\frac{1}{e} x$ 与 $x$ 轴及直线 $x=e$ 所围成的三角形绕直线 $x=e$ 旋转所得的圆雉体积为:
$$
V_{1}=\int_{0}^{1} \pi(e-e y)^{2} d y=\frac{1}{3} \pi e^{2} .
$$
曲线 $y=\ln x$ 与 $x$ 轴及直线 $x=e$ 所围成的图形绕直线 $x=e$ 旋转所得的旋转体体积为:
$$
\begin{aligned}
V_{2} &=\int_{0}^{1} \pi\left(e-e^{y}\right)^{2} d y=\pi \int_{0}^{1}\left(e^{2}-2 e \cdot e^{y}+e^{2 y}\right) d y \\
&=\left.\pi\left(e^{2} y-2 e \cdot e^{y}+\frac{1}{2} e^{2 y}\right)\right|_{0} ^{1}=\pi\left(-\frac{1}{2} e^{2}+2 e-\frac{1}{2}\right)
\end{aligned}
$$
因此所求旋转体的体积为
$$
V=V_{1}-V_{2}=\frac{1}{3} \pi e^{2}-\int_{0}^{1} \pi\left(e-e^{y}\right)^{2} d y=\frac{\pi}{6}\left(5 e^{2}-12 e+3\right) .
$$

解析:

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