题号:1349    题型:单选题    来源:2003年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $X \sim t(n)(n > 1), Y=\frac{1}{X^{2}}$, 则( )
$A.$ $Y \sim \chi^{2}(n)$. $B.$ $Y \sim \chi^{2}(n-1)$. $C.$ $Y \sim F(n, 1) .$ $D.$ $Y \sim F(1, n)$.
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答案:
C

解析:

其实, 由 $F$ 分布的性质以及 $t$ 分布和 $F$ 分布的关系得,
(1) 如果统计量 $T \sim t(n)$, 则有 $T^{2} \sim F(1, n)$;
(2) 如果统计量 $F \sim F\left(n_{1}, n_{2}\right)$, 则有 $\frac{1}{F} \sim F\left(n_{2}, n_{1}\right)$.
由以上两条性质可以直接得出本题的答案为 $(\mathrm{C})$.
先由 $t$ 分布的定义知 $X=\frac{U}{\sqrt{V / n}} \sim t(n)$, 其中 $U \sim N(0,1), V \sim \chi^{2}(n)$, 于是
$$
Y=\frac{1}{X^{2}}=\frac{V / n}{U^{2}}=\frac{V / n}{U^{2} / 1},
$$
分母中只含有一个标准正态分布的平方, 所以 $U^{2} \sim \chi^{2}(1)$. 由 $F$ 分布的定义知 $Y \sim F(n, 1)$. 故应选(C).

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