【ID】1348 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】2003年全国硕士研究生招生考试试题
设有齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$, 其中 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $m \times n$ 矩阵, 现有 4 个命题:
(1)若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解均是 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的解, 则秩 $(\boldsymbol{A}) \geqslant$ 秩 $(\boldsymbol{B})$;
(2)若秩 $(\boldsymbol{A}) \geqslant$ 秩 $(\boldsymbol{B})$, 则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解均是 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 的解;
(3)若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解, 则秩 $(\boldsymbol{A})=$ 秩 $(\boldsymbol{B})$;
(4)若秩 $(\boldsymbol{A})=$ 秩 $(\boldsymbol{B})$, 则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 同解.
以上命题中正确的是( )
$A.$ (1) (2) $B.$ (1) (3) $C.$ (2) (4) $D.$ (3) (4)
答案:
B

解析:

本题可找反例用排除法进行分析, 但(1)、(2)两个命题的反例比较复杂一些, 关键是 抓住(3)、(4), 迅速排除不正确的选项.
【详解】若 $A X=0$ 与 $B X=0$ 同解, 则它们的解空间中的基础解系所含向量个数相同, 即 $n-$ 秩 $(A)=n-$ 秩 $(B)$, 得秩 $(A)=$ 秩 $(B)$, 命题(3)成立, 可排除 $(\mathrm{A}),(\mathrm{C})$;
但反过来, 若秩 $(A)=$ 秩 $(B)$, 则不能推出 $A X=0$ 与 $B X=0$ 同解, 通过举一反例证明, 若 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 则秩 $(A)=$ 秩 $(B)=1$, 但 $A X=0$ 与 $B X=0$ 不同解, 可见命 题(4)不成立, 排除(D). 故正确选项为(B).

视频讲解

提示1:如果发现题目有错或排版有误或您有更好的解题方法,请点击“编辑”功能进行更新。
提示2: Kmath一直以来坚持内容免费,这导致我们亏损严重。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元, 我们一个月内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里继续免费提供优质内容。捐赠
关闭