题号:1345    题型:单选题    来源:2003年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 均为非负数列, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$, $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$, $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\infty$, 则必有( )
$A.$ $a_{n} < b_{n}$ 对任意 $n$ 成立. $B.$ $b_{n} < c_{n}$ 对任意 $n$ 成立. $C.$ 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} c_{n}$ 不存在. $D.$ 极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} c_{n}$ 不存在.
编辑试题 我来讲解
答案:
D

解析:

方法 1:推理法
由题设 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$, 假设 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} c_{n}$ 存在并记为 $A$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n} c_{n}}{b_{n}}=A$, 这与 $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\infty$ 矛盾, 故假设不成立, $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} c_{n}$ 不存在. 所以选项 $(D)$ 正确.
方法 2: 排除法
取 $a_{n}=\frac{1}{n}, b_{n}=\frac{n-1}{n}$, 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1$, 而 $a_{1}=1, b_{1}=0, a_{1} > b_{1}$, (A) 不正确; 取 $b_{n}=\frac{n-1}{n}, c_{n}=n-2$, 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\infty$, 而 $b_{1}=0 > -1=c_{1}$,
(B) 不正确; 取 $a_{n}=\frac{1}{n}, c_{n}=n-2$, 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\infty$, 而 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} c_{n}=1$,
(C) 不正确.

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