圆、椭圆、双曲线都有对称中心, 统称为 “有心圆锥曲线”, 如下方式可以得到部分 “有心圆锥曲线”, 已知动点 $\mathrm{P}$ 与定点 $\mathrm{A}(\mathrm{m}, 0)$ 的距离和 $\mathrm{P}$ 到定直线 $x=\frac{n}{m}$ 的距离的比为常数 $\frac{m}{n}$, 其中 $m>0, n>0$, 且 $m \neq n$, 记点 $\mathrm{P}$ 的轨迹为曲线 $\mathrm{C}$.
(1) 求曲线 $C$ 的方程, 并说明轨迹的形状;
(2) 设点 $B(-m , 0)$, 若曲线 $\mathrm{C}$ 上两动点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 均在 $\mathrm{x}$ 轴上方, $A M \| B N$, 且 $\mathrm{AN}$ 与 $\mathrm{BM}$ 相交于点 $\mathrm{Q}$.
(i) 当 $m=2 \sqrt{2}, n=4$ 时, 证明: $\frac{1}{|A M|}+\frac{1}{|B N|}$ 的值及 $\triangle A B Q$ 的周长均为定值;
(ii) 当 $m>n$ 时, 记 $\triangle A B Q$ 的面积为 $S$, 其内切圆半径为 $r$, 试探究是否存在常数 $\lambda$, 使得 $S=\lambda r$ 恒成立? 若存在, 求 $\lambda$ (用 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 表示); 若不存在, 请说明理由.