题号:1338    题型:填空题    来源:2003年全国硕士研究生招生考试试题
$\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln \left(1+x^{2}\right)}}=$
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 3 次查看 我来讲解
答案:
$\frac{1}{\sqrt{e}}$

解析:

求 $\lim u(x)^{v(x)}$ 型极限, 一般先化为指数形式
$$
\lim u(x)^{v(x)}=\lim e^{v(x) \ln u(x)}
$$
然后求 $\lim v(x) \ln u(x)$, 再回到指数上去.

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{\ln \left(1+x^{2}\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+\cos x-1)}{\ln \left(1+x^{2}\right)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x^{2}} \text { (等价无穷小替换 } \ln (1+x) \sim x \text { ) }
$$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2}}=-\frac{1}{2}\left(\text { 等价无穷小替换 } 1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}\right)
$$
故 原式 $=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}$.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭