设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布, 且
$$
X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0 .
\end{array} \text { 且 } Z=\frac{\min \{X, Y\}}{\max \{X, Y\} .}\right.
$$
(I) 求 $Z$ 的概率密度函数;
(II) 判断 $X$ 和 $Z$ 的独立性, 并说明理由.